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《CF274A题解与思考：深入剖析算法竞赛中的经典问题》

在算法竞赛中,Codeforces（CF）的题目往往以思维难度和巧妙的解法著称，我们将聚焦于CF274A（题目编号274A），探讨其解题思路、算法实现以及背后的数学逻辑，这道题目不仅考验选手的编程能力，更要求对问题本质的深刻理解。
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CF274A的题目大意如下（简化版）：
给定一个包含n个整数的数组a和一个整数k，要求从中选出一个子集，满足子集中任意两个元素x和y，既不满足x = k y，也不满足y = k x，求满足条件的子集的最大可能大小。

解题思路

1. 问题分析：

   • 关键在于避免选中的数之间存在k倍的倍数关系,若k=2，则不能同时选择2和4（因为4 = 2*2）。
   • 需要将数组中的数按“链式关系”分组，每组中的数通过k倍关系相连（如1, 2, 4, 8…）。

2. 贪心策略：

   • 对数组排序后,从小到大遍历，每次选择一个数时，标记其k倍的数为“不可选”。
   • 优先选择较小的数,因为较大的数可能被多个小数影响。

3. 实现步骤：

   • 排序数组,并用哈希表记录已选的数。
   • 遍历数组,若当前数未被标记，则将其加入子集，并标记a[i] * k。

代码示例（C++）

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    sort(a.begin(), a.end());
    unordered_set<int> used;
    int ans = 0;
    for (int x : a) {
        if (used.find(x) == used.end()) {
            ans++;
            if (1LL * x * k <= 1e9) used.insert(x * k);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)，主要来自排序。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储哈希表。

思考与扩展

1. 边界条件：当k=1时，所有数必须互不相同，此时问题退化为求数组去重后的长度。
2. 变种问题：若k为负数或小数，解法需如何调整？（需重新定义倍数关系）
3. 竞赛技巧：此类问题常出现在贪心或数学分类中，熟练掌握“链式分组”思想能帮助快速解题。

CF274A是一道典型的贪心与数学结合的题目,通过分析数的倍数关系，可以高效地找到最优解，希望本文的解析能为算法竞赛爱好者提供启发，也鼓励大家多尝试类似的题目以提升思维能力。

延伸练习：尝试解决k为负数或数组包含重复值的情况，并优化算法效率。